李雙平

論著

1. 二元感知機之強凍結
   合作者：Shuyang Gong。arXiv:2610.06275。
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   二元感知機有強凍結之猜想：約束密度固定而正，裕量亦定，則以高概率，典型之解與其餘諸解之漢明距離，皆與維數同階。今證其說。其法取植入模型，所計之解，限於與植入解重疊非負者；此受限配分函數沿植入方向單調，遂以 FKG 不等式解其與孤立事件之耦合。此限僅損 $n+1$ 之因子，故可由植入解之孤立，推及原模型之典型解。
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2. 隨機矩陣差異之穩定算法與在線算法
   合作者：Eren C. Kızıldağ。arXiv:2610.01591。
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   給獨立之高斯正交系綜矩陣，擇正負之號，使其和之算子範數不逾所定之界。今於比例極限、小裕量之際，究穩定離線算法與在線算法所需之密度。離線者，以重定中心而後舍入之法，得噪聲穩定之多項式時間算法，並證匹配之下界；在線者，矩陣既見，符號即定，不可復改，乃明 Frobenius 貪心法之極限表現，復證諸在線算法之下界。兩類算法之相變尺度，分別為 $\Theta(1/(\kappa^2\log(1/\kappa)))$ 與 $\Theta(1/\kappa^2)$，皆遠高於可滿足性之尺度 $\Theta(\log(1/\kappa))$。其法之樞紐，在旋轉對稱，藉 Frobenius 範數之制，得算子範數之界。
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3. GenLimitLib：極限語言生成之形式化庫，兼助人工智能研數
   合作者：Peng Zhang。arXiv:2609.36663。
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   極限語言生成之問，始於 Kleinberg 與 Mullainathan：觀既有之辭，何以生有效而未見之新辭？今以 Lean 4 建 GenLimitLib，據原文而形式化三十篇論著，提取共用定義與可復用之證法，存各篇之假設、命題，並錄諸篇之聯繫。復以數學實例與大語言模型之試驗，示其如何助人治數，亦助人工智能研數。
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4. 有界溯祖之系統發育動力推斷：以點過程觀之
   合作者：Bingjing Tang、Julia A. Palacios。arXiv:2609.29035。
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   溯祖之法，以有根二叉樹記樣本之世系，合併之率反比於有效種群之數。有界者，限其最近共同祖先之時不逾定界。今以非齊次點過程觀之，得精確而高效之模擬法，省拒絕採樣之費，免反覆數值求逆；復立馬爾可夫鏈蒙特卡洛法，以推種群數隨時之變，而毋須離散似然積分。三類模擬中，二類因設界而減誤，變化最疾者則未然；又以華盛頓州 SARS-CoV-2 序列示其用。
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5. 植入子圖之辨，低次法之嚴推：噪聲與樹寬
   合作者：Xuan Chen。arXiv:2608.06279。
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   低次法常用以卜平均植入問題之計算門檻，然其不可辨，未必杜絕高效耐噪之辨者。今令 $Q_n=G(n,c/n)$，植定圖 $\\Gamma_n$ 之隨機副本而得 $P_n$。若 $c>1$、二分布於 $D_n$ 次內不可辨，且樹寬為 $o(D_n/\\log n)$，則加噪之 $P_n$ 與 $Q_n$ 漸不可辨；若 $0<c\\leq1$ 且 $D_n=\\omega(\\log n)$，則毋須樹寬之限。證則考傅里葉展開與同構三元組之應，分解樹以析大支撐，復以噪聲消其合併之費；臨界及其下，低次假設去短環，噪聲滅餘長環。
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6. 稠密語言生成之簡法：確定、隨機與多序算法
   合作者：Ziyi Cai、Yiheng Shen、Kangning Wang、Peng Zhang。arXiv:2608.01320。
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   論極限語言生成：對手自可數族擇一未知語言，任序枚舉其辭；生成者終須惟出屬其語而未見者。今以次序表輸出之輕重，以「下密度」量其廣。立一簡而統一之法：確定算法可得最優之 $1/2$；對不應變之對手，隨機化可升至 $1-1/e$；雖有有限多序，亦可各臻其最優而無所損。
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7. 穩算法未能恃之以覓孤立感知機解
   合作者：Shuyang Gong、Brice Huang、Mark Sellke。FOCS 2026。
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   考二元感知機之隨機約束。解多而孤，隔諸解以 $\Omega(N)$ 漢明之距。然凡算法稍經高斯重擾而輸出仍穩者，難可靠尋此孤解；其功率有界，低次多項式亦在此列。是故孤解雖在，算法未必見之。
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8. 隨機圖中局部幾何之辨：信息與計算之限
   合作者：Jinho Bok、Sophie H. Yu。arXiv:2603.24545。
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   置一隱社群，其邊由球面隱向量之內積生；餘邊如 Erdős-Rényi。邊際無異，信號只藏於依賴。以帶符號三角計數立上界，以截斷二階矩與 KL 張量化立下界，遂定其檢測門檻，並見計算與統計之隙。
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9. 有些易解優化題，亦有重疊間隙
   合作者：Tselil Schramm。COLT 2025。
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   證最短 s-t 路於稀疏 $G(n,p)$ 與完全圖指數邊權中亦有 overlap-gap property。然此題仍可由 $O(\log n)$ 次多項式估計，且可多項式時取近似最短路。故有間隙者，未必皆難。
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10. 合成續訓
    合作者：Zitong Yang、Neil Band、Emmanuel Candès、Tatsunori Hashimoto。ICLR 2025 (Oral)。
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    大語言模型多讀網文而得世識，然學一事常須千般說法。今取小域文集，以 EntiGraph 抽其要實，織成多樣合成文本，再續預訓。於是模型無原文亦能答其事；若復佐以檢索，則知識相助而益彰。
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11. 二元感知機之 discrepancy 法
    合作者：Tselil Schramm、Kangjie Zhou。STOC 2025。
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    問於截距 $-\kappa$ 之隨機半空間交中求符號向量。析 Lovett-Meka 與 Rothvoss/Eldan-Singh 諸 discrepancy 法於非對稱二元感知機之功，於 $\kappa=0$ 與大 $|\kappa|$ 得新算法，又於 $\kappa\to-\infty$ 明其容量。
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12. 高斯混合塊模型中之譜聚類
    合作者：Tselil Schramm。Annals of Applied Probability（二〇二六）。
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    以高斯混合為潛特徵，點相近則連邊。今考高維情形之聚類與嵌入，析二分量球形高斯混合中譜法之成敗，略繪信息與計算之疆界。
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13. 二元感知機：高效算法可入罕見而相連之解簇
    合作者：Emmanuel Abbe、Allan Sly。STOC 2022。
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    對稱二元感知機之典型解多孤立，似難求也；然低密度時簡算法常得解。本文證實有次主導而稠密連通之解簇，多尺度多數算法可高概率入之，並及臨界附近之線性直徑簇。
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14. 證對稱感知機之鄰接猜想與對數正態極限
    合作者：Emmanuel Abbe、Allan Sly。FOCS 2021。
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    對稱二元感知機，其配分函數經期望歸一後趨於對數正態。由是證 planted 與 unplanted 模型之鄰接，立尖銳閾值，並證對稱情形之 frozen 1-RSB。其術乃小圖條件化之稠密化。
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15. 合併隨機遊走於大爆炸時之平均場象
    合作者：Jonathan Hermon、Dong Yao、Lingfu Zhang。Annals of Probability (2022)。
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    於一般圖上考合併隨機遊走，問早期「大爆炸」時被占點比例 $P_t$ 如何衰。若圖具類暫態性，則見平均場行為。其法及配置模型與頂點傳遞圖，並得多種極限公式。
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16. 習稀疏 graphon 與廣義 Kesten-Stigum 門檻
    合作者：Emmanuel Abbe、Allan Sly。Annals of Statistics (2023)。
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    graphon 之學，稀疏處尤難。本文於常數期望度下給高效算法；若前 $k$ 特徵值滿足廣義 Kesten-Stigum 條件，則可於 $L^2$ 度量中估其秩 $k$ 投影。
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17. 謝爾賓斯基墊片上 Sobolev 空間之跡定理
    合作者：Shiping Cao、Robert S. Strichartz、Prem Talwai。Communications on Pure and Applied Analysis (2020)。
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    給謝爾賓斯基墊片上一族 Sobolev 空間到底邊之離散刻畫，含拉普拉斯算子 $L^2$ 定義域。低階情形下，其跡空間乃直線上 Besov 空間。
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18. 以模型降階算法求薛定諤方程特徵值與特徵函數
    合作者：Zhiwen Zhang。Communications in Computational Physics (2018)。
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    構造依題而生之基函數，立於粗網格，解一優化題而得之。此等基張成低維廣義有限元空間，能存定態薛定諤方程之低端特徵值與特徵函數；免於細網格上大求特徵，且各基可並行而作。
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門人

• 博士後學人：
• Shuyang Gong（FDS 博士後學人）
• 諸生：
• Shuyi Wang（耶魯大學博士生，二年級）
• Dong Huang（清華大學博士生，二〇二六年秋來訪）
• 舊日諸生：
• August Chen（康奈爾大學博士生，二〇二六年夏來訪）
• Xuan Chen（本科生，二〇二六年夏來訪）
• Jianan Zhang（本科生，二〇二六年夏來訪）

游學講席錄

• Spin Glass Theory and High-Dimensional Landscapes in Biology，二〇二六年八月，National Institute for Theory and Mathematics in Biology（NITMB），Chicago。
• Youth in High-Dimensions: Recent Progress in Machine Learning, High-Dimensional Statistics and Inference，二〇二六年七月，ICTP，Trieste。
• Annual Summer School on Mathematical Aspects of Data Science，二〇二六年六月，Institute for Mathematical Sciences, National University of Singapore。
• California Institute of Technology CM+X Seminar，二〇二六年五月。
• University of Chicago Theory Seminar (Combinatorics and TCS Seminar)，二〇二六年三月。
• UCLA Statistics & Data Science Seminar，二〇二六年三月。
• Harvard University Theory of Computation Seminar，二〇二五年十二月。
• 2025 INFORMS Annual Meeting，Applied Probability Society Cluster，二〇二五年十月，Atlanta。
• IDEAL Workshop: Inference in High Dimensions: Algorithms and Statistics，二〇二五年十月，Northwestern University。
• Rutgers/DIMACS Theory of Computing Seminar，二〇二五年十月。
• University of Delaware Applied Economics and Statistics Department Seminar，二〇二五年九月。
• 2025 Joint Statistical Meetings，Recent Advances in High-Dimensional Probability and Combinatorial Optimization，二〇二五年八月，Nashville。
• Rocky Mountain Summer Workshop on Algorithms, Probability and Combinatorics，二〇二五年六月，Colorado State University Mountain Campus。
• Detection, Estimation, and Reconstruction in Networks，二〇二五年四月，SLMath, Berkeley。
• University of Southern California Department of Mathematics Colloquium，二〇二五年三月。
• Cornell University ORIE Colloquium，二〇二五年三月。
• Johns Hopkins University AMS/MINDS Seminar Series，二〇二五年二月。
• Washington University in St. Louis Department of Statistics and Data Science Seminar，二〇二五年二月。
• University of Pennsylvania Wharton School Department of Statistics and Data Science Seminar，二〇二五年二月。
• Yale University Department of Statistics and Data Science Seminar，二〇二五年二月。
• Stanford University Statistics Seminar，二〇二五年二月。
• University of Florida Mathematics Colloquium，二〇二五年一月。
• University of Pennsylvania Probability and Combinatorics Seminar，二〇二五年一月。
• University of Illinois Urbana-Champaign Department of Statistics Seminar，二〇二五年一月。
• The Ohio State University Department of Mathematics Seminar，二〇二五年一月。
• Georgia Institute of Technology College of Computing Seminar，二〇二五年一月。
• Probability and Statistical Physics，TSIMF，二〇二五年一月。
• HKUST IAS-HKWM-EASIAM Joint Workshop on Recent Advances on Scientific Computing, Random Matrices and Data Science，二〇二四年十二月，Hong Kong。
• Hong Kong Probability Seminar，二〇二四年十二月，University of Hong Kong。
• Low-Degree Polynomial Methods in Average-Case Complexity，二〇二四年十二月，American Institute of Mathematics。
• Duke University Fuqua School of Business Decision Sciences Seminar，二〇二五年十二月。
• University of Florida Statistics Department Seminar，二〇二五年十二月。
• Stanford University Probability Seminar，二〇二四年十一月。
• AMS Fall 2024 Western Sectional Meeting，二〇二四年十月，UC Riverside。
• 2024 INFORMS Annual Meeting，Applied Probability Society Cluster，二〇二四年十月，Seattle。
• Frontiers of Statistical Mechanics and Theoretical Computer Science，二〇二四年八月，Banff International Research Station。
• Stochastic Networks Conference 2024，二〇二四年七月，KTH Royal Institute of Technology。
• Workshop on Random Matrices and Applications，二〇二四年五月，ICERM。
• Summer School 2024: Probability, Algorithms, and Inference，二〇二四年五月，Georgia Tech。
• 2024 Joint Mathematics Meetings，AMS Special Session on Thresholds in Random Structures，二〇二四年一月，San Francisco。
• Los Angeles Probability Forum，二〇二三年十一月，Caltech。
• Northwestern University Probability Seminar，二〇二三年十一月。
• National University of Singapore Joint Statistics, Data Science & Machine Learning Seminar，二〇二三年十月。
• Stanford University Probability Seminar，二〇二三年十月。
• Georgia Tech Stochastics Seminar，二〇二三年九月。
• Peking University Summer School on Probability，二〇二三年六月。
• Stanford University Applied Math Seminar，二〇二三年五月。
• Stanford University Women in Theory Forum，二〇二三年四月。
• Duke University Applied Math and Analysis Seminar，二〇二三年四月。
• UC Davis Probability Seminar，二〇二三年二月。
• UC Berkeley Probability Seminar，二〇二二年十一月。
• UC Irvine Combinatorics and Probability Seminar，二〇二二年十月。
• Stanford University Probability Seminar，二〇二二年九月。
• NYU Student Probability Seminar，二〇二二年五月，線上。
• HKU Numerical Analysis Seminar，二〇二二年五月，線上。
• Penn Local Probability Seminar，二〇二二年四月。
• 2022 Joint Mathematics Meetings，AAAS Special Session on Stochastic Processes on Networks，二〇二二年四月，線上。
• UIC Probability and Combinatorics Seminar，二〇二二年三月，線上。
• Princeton University PACM Colloquium，二〇二二年二月。
• LU-NU-UMN Joint Probability Seminar，二〇二二年二月，線上。
• Stanford Statistics Seminar，二〇二二年二月，線上。
• Princeton University PACM Graduate Student Seminar，二〇二二年一月。
• Harvard University Probabilitas Seminar，二〇二一年十二月，線上。
• Northeast Probability Seminar，二〇二一年十一月，線上。
• Random Graphs and Statistical Inference Workshop，二〇二一年八月，Banff International Research Station，線上。
• Columbia-Princeton Probability Day，二〇二一年五月，線上。
• Princeton University PACM Graduate Student Seminar，二〇二一年四月，線上。
• University of Basel Seminar in Probability Theory and Statistics，二〇二一年四月，線上。
• Princeton University PACM Graduate Student Seminar，二〇二一年二月，線上。
• Northeast Probability Seminar，二〇二〇年十一月，線上。
• Princeton University PACM Graduate Student Seminar，二〇一九年十一月。
• Duke University Graduate Student Probability Seminar，二〇一九年十月。
• International Workshop on Inference on Graphical Models，二〇一九年十月，Columbia University。

授業

• Yale University 講席：
• S&DS 6000 高等概率，二〇二六年秋。
• S&DS 6060 近世離散概率：自隨機圖至自旋系統，二〇二六年春。
• S&DS 6000 高等概率，二〇二五年秋。
• Stanford University 講席：
• STATS218 隨機過程入門 II，二〇二五年春。
• STATS117 概率論 I，二〇二五年春。
• STATS218 隨機過程入門 II，二〇二四年春。
• STATS317 隨機過程，二〇二四年冬。
• STATS218 隨機過程入門 II，二〇二三年春。
• STATS116 概率論，二〇二二年秋。
• Princeton University 助教：
• MAT100 微積分基礎，二〇二〇年秋。
• MAT201 多變量微積分，二〇一九年秋。
• MAT202 線性代數及其用，二〇一九年春。

任事

• 任美國國家科學基金會（NSF）評審：Future Computing Research (Future CoRe)，Communications and Information Foundations (CIF) 計畫。
• 為 Annals of Probability 審稿。
• Yale Statistics & Data Science Seminar 主其事：二〇二六年秋、二〇二七年春。
• Stanford Statistics Seminar 主其事：二〇二三年冬、二〇二四年冬、二〇二四年夏、二〇二五年春。
• Stanford Probability Seminar 主其事：二〇二三年春。

雜記

予有孿生妹 李雙寧，亦好統計。昔卒業於 Stanford University，今任 Chicago Booth 助理教授。

小試一隅

君能辨我姊妹乎？

試問圖中孰為孰？

往答十問 →